Được một bữa không bận gì các môn học trên lớp và Covid đang gặp lại nhau lần 3 (lần 1 xuất hiện là tết năm ngoái đã làm mất của mình 3 chuyến đi, lần 2 làm mất của mình một cơ hội được gặp GS. Hưng nói về Topo đại số, lần 3 không biết thế nào), mình có hứng thú lôi quyển Representations and Characters of Groups của G. James và M. Liebeck ra đọc lại cùng với quyển A first course noncommutative ring của T. Y. Lam. Mình vừa đọc vừa cảm nhận lại hương vị nồng ấm mà các Thầy, các anh chị đã tạo điều kiện giúp đỡ rất nhiều (xin được gửi lời cám ơn vô cùng, gửi ngàn liều khỏe mạnh đến nhau). Vì mình hơi ngứa tay khi đọc lại ngẫm ra nhiều điều nên mình có ngoáy vài trang. Sau khi bắt tay vào gõ, nhiều câu nói cứ hiện mãi mà nôn nao: “Sơn oi, tui nghèo lắm, khi nào ông có bồ, ... “. Hôm qua, một kỷ niệm nằm ở Nha Trang vô tình xuất hiện khi thấy bãi biển ấy (xem bài viết ở Nha Trang). Hôm nay, một kỷ niệm không thể phai dấu trong đầu cứ xuất hiện liên tục từng ngày từng ngày (mong là liên tục đều chứ đừng liên tục điểm) đang hội tụ đều đến lời nói ngọt ngào của tháng 4 (tháng của Phượng chớm nở) bởi nó được hình thành, rèn dũa qua nhiều năm, chắc cũng được hơn 10 năm (mình biết cậu ấy từ 2007 thì phải) rồi nhỉ (nghe như Tư Mã Ý ẩn mình rèn kiếm rồi vung một nhát ôm trọn).
Về chuyện về biểu diễn nhóm, làm thế nào để biết được một nhóm bởi việc kiểm tra một tập cùng phép toán hai ngôi lập thành một nhóm chưa nói lên được điều gì. Trước hết, ta nhắc lại khái niệm nhóm. Một tập hợp G cùng với một phép toán hai ngôi (kí hiệu là *) được gọi là nhóm nếu phép toán có tính kết hợp (x*y)*z=x*(y*z), với mọi x,y,z thuộc G, mỗi phần tử của G đều có đơn vị và phần tử khả nghịch tức là với mỗi x thuộc G, tồn tại các phần tử a,b thuộc G sao cho xa=ax=x, xb=bx=a. Ví dụ tập các số nguyên, tập các số hữu tỷ, tập các số thực, tập các số phức là các nhóm cùng với phép toán cộng hoặc phép toán nhân thông thường nhưng tập các số tự nhiên không là một nhóm cùng với phép toán cộng và phép toán nhân. Tư tưởng nhóm được phát triển rất sớm nhen nhúm hình thành từ việc nghiên cứu phương trình đa thức và được Galois trả lời cho câu hỏi thú vị về việc khi nào một phương trình giải được bằng căn thức. Đối tượng nhóm được xuất hiện một cách vô cùng tự nhiên mà chính các tính chất của nó khiến cho chúng ta không khỏi thấy thú vị bởi sự thân thiết đến lạ kỳ. Chẳng hạn, giả sử G là một tập khác rỗng và người ta cần kiểm soát các phần tử của G theo một tiêu chí nào đó. Nếu không phát hiện gì về G thì chúng ta phải xét toàn bộ G. Nếu G là một nhóm thì tập sinh của G có ít phần tử hơn dẫn đến tốc độ kiểm soát G càng cao. Nếu phát hiện tiếp trong G có một nhóm con H đã thỏa tiêu chí ban đầu rồi thì chúng ta chỉ cần kiểm tra tập thương G trên H dẫn đến hiệu quả đạt được lớn gấp nhiều lần mức độ trước. Nếu H trở thành nhóm con chuẩn tắc của G thì số các phần tử sinh ít lại rất nhiều so với mức độ trước. Triết lí của vấn đề nằm ở chỗ nếu một đám đông có tổ chức càng cao thì việc xử lý thông tin trên đó càng hiệu quả. Bây giờ, chúng ta quay lại chuyện của Lý thuyết biểu diễn nhóm. Ta có thể mô tả một nhóm bởi một tập các phần tử sinh và các quan hệ giữa chúng nhưng cách mô tả này không duy nhất và khó có thể biết được hai nhóm cho dưới dạng như thế có quan hệ ra sao. Nhiều nhóm được biết như là nhóm con của một nhóm các phép biến đổi trên một tập nào đó và bảo toàn một cấu trúc nào đó của tập này. Cấu trúc thường xét là không gian véc tơ. Như vậy, người ta có thể đi xem xét mỗi nhóm thông qua nhóm con của nhóm các ma trận khả nghịch.
Vậy để xem xét một người (khác giới) cần biểu diễn như thế nào, nghe thật thú vị.
Written by Nam Son
Comments